材料の片面を温めたとき、表面だけでなく内側も早く温まるかを知りたい。そんな場面では、熱伝導率の大きさに加えて、温度を上げるためにどれだけの熱が必要かも関わります。同じ熱伝導率を持つ材料でも、同じ時間後の内部温度が同じになるとは限りません。
この違いを捉える物性値が熱拡散率です。熱を伝える性質と蓄える性質を組み合わせ、加熱を始めてから温度分布がどう変わるかを考える手がかりになります。ここでは、表面の温度を一定に保つ単純なモデルで、二つの仮想材料を比べます。
簡単にまとめると？
- 熱拡散率は、熱伝導率を体積あたりの熱容量で割った値です。同じ熱伝導率なら、体積あたりの熱容量が大きいほど熱拡散率は小さくなります。
- 表面温度を一定に保つ厚い材料のモデルでは、同じ割合だけ温度が上がる深さは、時間の平方根に比例します。深さを2倍にすると、必要な時間は4倍です。
- 熱拡散率だけで加熱時間や断熱性能の優劣は決まりません。厚さ、表面への熱の渡し方、必要な温度を合わせて比べます。
熱を通すことと、材料自身を温めること
熱伝導率kは、温度差のある材料内で熱がどれだけ流れるかに関わります。一方、材料の温度を変えるには、その材料自身にも熱を蓄える必要があります。密度をρ、質量あたりの比熱をcとすると、積ρcは体積あたりの熱容量です。単位はJ/(m³·K)で、1m³の温度を1K上げるのに必要な熱量を表します。
熱拡散率αは、これらを次のように組み合わせます。[1]
α = k / (ρc)
単位はm²/sです。たとえばkが同じでも、ρcが4倍ならαは4分の1になります。同じ温度勾配のもとで熱を伝える能力が同じでも、温度を変えるために必要な熱が大きければ、内部の温度分布はゆっくり変わる、と理解できます。
これは、温度変化の途中を扱う「非定常熱伝導」の話です。温度が時間によって変わらなくなった定常状態の熱流を、同じ厚さ・面積・両面の温度差で比べるなら、熱伝導率が等しい二つの均質な板では同じ熱流になります。途中の温まり方と、落ち着いた後に通す熱量を分けて見ることが大切です。
表面を20℃から80℃に変えたら、深さ10mmは何℃か
比較のため、初めは全体が20℃の材料を用意し、時刻0で片面を80℃に変え、その温度に保つとします。材料は均質で、物性値は一定、内部の発熱や相変化はないものとします。側面からの熱の出入りを無視し、表面から奥へ向かう一方向の変化を考えます。
さらに、考える時間内では反対側の面の影響を無視できるほど厚いものとします。これが「半無限固体」という近似です。無限に厚い物体を実際に用意するという意味ではなく、短時間の表面付近だけを見るためのモデルです。[1][2]
下表のA・Bは、仕組みを比較するために設定した仮想材料です。実在材料の測定値や製品性能ではありません。熱伝導率をそろえ、体積あたりの熱容量だけを変えています。
| 設定値 | 材料A | 材料B |
|---|---|---|
| 熱伝導率 k | 1 W/(m·K) | 1 W/(m·K) |
| 体積あたりの熱容量 ρc | 1,000,000 J/(m³·K) | 4,000,000 J/(m³·K) |
| 熱拡散率 α | 1.0×10⁻⁶ m²/s | 0.25×10⁻⁶ m²/s |
| 100秒後、深さ10mmの温度 | 約48.8℃ | 約29.4℃ |
両方とも表面は80℃ですが、100秒後の深さ10mmでは約19.3℃の差が生じます。Bは体積あたりの熱容量が大きいため、同じ場所の温度変化がAより小さくなります。表面温度を同じにしたことは、供給した総熱量も同じにしたことを意味しません。この比較では、表面を80℃に保つために必要な熱をそれぞれ供給しています。
温まり方を決めるのは、深さと時間の組合せ
この条件での温度は、表面からの深さをx、加熱開始からの時間をtとして、次の式で計算できます。[1]
(T − 20) / (80 − 20) = erfc(x / (2√(αt)))
左側は、表面の温度変化60℃のうち、その場所が何割まで温まったかを表します。erfcは相補誤差関数という数学の関数で、引数が0なら1、大きくなるほど0に近づきます。表面では温度変化が100%反映され、奥に進むほど変化が小さくなる様子を表しています。
たとえばAの深さ10mm・100秒では、関数の引数は0.5です。erfc(0.5)は約0.4795なので、温度は20＋60×0.4795＝約48.8℃になります。Bでは引数が1となり、20＋60×0.1573＝約29.4℃です。
この式では、深さと時間はx/√(αt)という組合せで現れます。同じ材料で、同じ割合の温度変化に達する場所を追うなら、深さは√tに比例します。Aの深さ10mmが100秒で約48.8℃になるのに対し、深さ20mmが同じ温度になるのは400秒後です。深さを2倍にするには、時間を4倍にする必要があります。
同様に、Bの熱拡散率はAの4分の1なので、同じ深さで同じ温度に達するには4倍の時間が必要です。Bの深さ10mmは400秒後に約48.8℃になります。ただし、400秒後にも反対面の影響を無視できるという条件が必要です。
「熱が届いた境界」があるわけではない
温度変化が目立つ範囲を「熱が浸透した深さ」と呼ぶことがあります。ただ、この拡散モデルでは、ある深さを境に温度変化が厳密にゼロになるわけではありません。曲線は滑らかに初期温度へ近づきます。どこまで温まったかを比べるなら、「初期温度から10℃上がる」「表面の温度変化の半分に達する」など、基準をそろえる必要があります。
また、ここで一定にしたのは材料の表面温度です。周囲の空気を80℃に保つこととは異なります。空気から表面へ熱が渡る速さが限られれば、表面はすぐに80℃にはならず、熱伝達率も考慮する必要があります。熱源との接触に抵抗がある場合や、複数の層を重ねた場合も、その条件を追加して考えます。
材料を比べる前に、何を早くしたいかを決める
加熱工程で内部のある深さを目標温度へ早く近づけたいなら、熱拡散率は比較の入り口になります。同じ加熱条件・同じ寸法なら、今回のようなモデルではαが大きいほど内部の温度変化が早く進みます。一方、一時的な温度変化を抑えたいのか、定常的に通る熱を減らしたいのかでは、見るべき性質が変わります。熱拡散率が小さいという一点だけで、断熱材として優れているとは言い切れません。
実際に比較するときは、まず目的の深さと温度、加熱時間を決め、次にその温度範囲でのk・ρ・cを確認します。厚さが有限である影響、表面への熱の渡し方、物性値の温度依存や融解などを含める必要があるかを点検すると、単一の物性値の大小から一歩進んだ判断ができます。
参考資料
- John H. Lienhard V・John H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, Sixth Edition, Version 6.00（2024年4月19日）。§1.3 p.18、§5.6 pp.221–226、式5.44–5.53。
- MIT OpenCourseWare, 3.044 Materials Processing（Spring 2013）, Transient heat conduction solutions。表面温度一定の半無限固体と有限平板の解。