量子状態を変える処理が「確率の総和を1に保つ」ことと、「偏りのない状態をそのまま保つ」ことは、同じ条件ではありません。後者を調べる言葉が、ユニタルです。1量子ビットの小さな例で、何を入力し、何が保存されたのかを分けてみます。
簡単にまとめると？
- トレース保存は、状態を表す行列の対角成分の和を保つ条件です。量子状態の確率を正規化したまま扱うために必要です。
- 同じ次元の入出力では、ユニタルな量子チャネルは最大混合状態I/dを変えません。トレース保存だけから、この性質は導けません。
- 一つの入力で同じ結果を出す二つの処理も、最大混合状態への作用では違いが出ます。「状態を保つ」の対象を明記すると比較ができます。
何の「保存」を調べているのか
量子状態を表す密度行列ρは、対角成分の和であるトレースが1になっています。たとえば、基底0と1の確率が半々で、その間のコヒーレンスがない1量子ビットの状態は、対角に0.5、0.5を並べた行列です。これはI/2とも書けます。Iは対角成分が1、その他が0の単位行列です。
量子チャネルは、物理的に許される状態の変化を表す数学的な枠組みです。ここでは完全正値かつトレース保存の線形写像Φを考えます。完全正値は、対象が別の系ともつれている場合まで含めて、状態としての整合性を保つための条件です。[1] 本稿はその完全な判定法ではなく、すでに量子チャネルとして構成した例の保存性を比較します。
ユニタルとは、Φ(I)=Iを満たすことです。[2] 入力と出力を同じd次元にそろえると、線形性からΦ(I/d)=I/dになります。このI/dが最大混合状態です。単に0と1の測定が半々になる純粋な重ね合わせ状態とは違い、どの正規直交基底を選んでも偏りがありません。
掛ける順番が違う、二つの条件
クラウス演算子Kを使うと、チャネルはΦ(ρ)=ΣKρK†と表せます。Σは複数の演算子について足す記号、†は行と列を入れ替えて複素共役を取る操作です。トレース保存を確かめるときはΣK†K=Iを見ます。[1] 一方、ρの位置にIを入れるとΦ(I)=ΣKK†なので、ユニタル性ではΣKK†=Iを見ます。
文字が似ていても、行列は一般に掛ける順番を交換できません。ΣK†KがIだったという記録を、そのままΣKK†の確認に使うことはできません。状態の確率の総和と、偏りのない状態への作用は、別々に検査する理由があります。
反転する処理と、0へ戻す処理を比べる
比較用に、二つの理想化した1量子ビットのチャネルを作ります。一つ目は、確率0.4で0と1を交換し、確率0.6で何もしない処理です。交換する行列をXと書くと、Φ反転(ρ)=0.6ρ+0.4XρXです。Xは0を1へ、1を0へ移すユニタリ演算子なので、この確率的な混合はユニタルです。[2]
二つ目は、確率0.4で入力を捨てて基底状態0を準備し、確率0.6で入力をそのまま残す処理です。正規化済みの状態に対して、Φリセット(ρ)=0.6ρ+0.4|0⟩⟨0|となります。一般の行列への線形な式では、最後の項にTr(ρ)を掛けます。これは比較のために定めた理想モデルで、装置のリセット精度や実行時間を表す数値ではありません。
後者のクラウス演算子は、√0.6 I、√0.4 |0⟩⟨0|、√0.4 |0⟩⟨1|です。それぞれのK†Kを足すと0.6I+0.4I=Iとなり、トレースを保ちます。しかしKK†の和は、対角成分が1.4と0.6の行列になります。Iではないので、この処理はユニタルではありません。
実際にローカルで行列を掛けると、I/2を入れた反転モデルの出力は対角0.5、0.5でした。リセットモデルでは0.7、0.3でした。後者は0の確率へ0.2が移っていますが、和は1のままです。「確率が失われた」のではなく、「偏りのない入力に偏りが生まれた」と読む結果です。
同じ入力結果だけでは区別できない
今度は基底状態1を両方へ入れると、どちらも0の確率が0.4、1の確率が0.6になります。この一例だけでは、二つの処理の違いが見えません。ところが基底状態0を入力すると、反転モデルは0.6と0.4に変え、リセットモデルは0をそのまま保ちます。入力を変えて比較する意味がここにあります。
計算では、三つの入力について出力のトレースが1であること、固有値が負にならないこと、予想した対角成分と一致することを確認しました。加えて、各クラウス演算子の二通りの積の和を直接計算しています。三状態での数値確認だけを一般的な完全正値性の証明とは扱いません。チャネルとしての根拠はクラウス表現と、その正規化条件に置いています。
また、ユニタルだからすべての状態を変えない、という意味でもありません。今回の反転モデルは最大混合状態を保ちますが、基底状態0は変えます。ユニタルとユニタリも同義ではありません。確率的にユニタリ操作を混ぜたものはユニタルですが、高い次元まで含めて逆も必ず成り立つとは言えません。[2]
比較表に残すと役立つ項目
チャネルの性質を比べるときは、まず入出力の次元、演算子、使った確率を残します。次に、トレース保存の確認と、最大混合状態の入力・出力を別の欄にします。どちらか一方の結果を「保存される」の一語で済ませないことが大切です。
この比較は、量子機器の優劣やノイズ量の大小を決めるものではありません。ユニタル性は、チャネルが最大混合状態にどう作用するかを分ける性質です。実機では、モデルの妥当性、測定誤差、他の状態への作用も別に調べる必要があります。何を保存する処理なのかを具体的な入力へ戻して考えると、似た条件の取り違えを防ぎやすくなります。
出典
- John Watrous, The Theory of Quantum Information 第2章、2.2節、定理2.22・2.26。量子チャネル、クラウス表現、トレース保存の条件。
- 同、第4章、定義4.1・4.2、例4.3。ユニタル性とユニタリ操作の確率的混合。著者公開PDFを2026年10月23日に確認。二章は同じ書籍に属し、独立した二つの実験的根拠ではない。数値例・図・計算スクリプトは独自作成。