量子情報を守る仕組みは、量子状態そのものが大きく揺らぎ始めても働くのでしょうか。誤り訂正では、壊れた場所の手掛かりを測り、その結果から修正方法を選びます。ところが、もともとの量子状態にも揺らぎがあると、測定で見えた変化が外から加わった誤りなのか、正常な状態に含まれる揺らぎなのかを見分けにくくなります。
2026年11月3日（UTC、日本時間では4日）、カリフォルニア工科大学のZack Weinstein氏とプリンストン大学のSamuel J. Garratt氏は、横磁場トーリック符号という理論模型で、この問題に対する復号手順を示したプレプリントを公開しました。量子情報を保つ相が失われる境界のすぐ手前でも、従来の測定を使って情報を取り戻せることを、理論と数値計算から調べた研究です。実機の誤り訂正試験ではありません。
簡単にまとめると？
- 符号自体の量子的な揺らぎと外部ノイズが重なっても、測定結果に合う複数の経路を比較すれば、論理情報を保つ修正を選べる可能性があります。
- 近い条件の数値模型では、相転移の手前でもビット反転を訂正できるしきい値がゼロになりませんでした。位相反転については、横磁場に依存しないしきい値を理論的に導いています。
- 測定と修正は理想的と仮定され、計算の効率も実測された数値計算上の性質です。実機で許容できる誤り率や、あらゆる復号法に対する最適性を保証する結果ではありません。
同じ測定結果に、二つの原因が重なる
トーリック符号は、格子の辺に置いた多数の量子ビットへ情報を分散して保存する誤り訂正符号です。この論文では、格子の左右と上下がつながる周期境界条件を使い、全体で二つの論理量子ビットを符号化します。物理的な装置をドーナツ形に作る、という意味ではありません。
誤りを探すために測るのは、複数の量子ビットの関係を調べるスタビライザーです。測定結果をまとめた「シンドローム」は、論理情報そのものを読む代わりに、格子上のどこに不整合が現れたかを知らせます。隣り合う量子ビットに沿ってビット反転が起きると、その経路の端に不整合が現れます。
今回の横磁場は、符号を定めるエネルギーの模型に、各量子ビットを反転させる作用を加えます。その強さを上げると、基底状態にも不整合の量子的な揺らぎが増えていきます。外部からランダムなビット反転が加わると、測定には両方の影響が一緒に現れるのです。
ここで、見えた二つの端点を最短経路で結ぶだけでは、常に正しい修正になるとは限りません。同じ端点に至る経路でも、格子全体を一周するかどうかで、保存した論理情報への作用が変わるためです。論文は、端点の位置だけでなく、揺らぎと外部ノイズを合わせて、どの種類の経路が最も起こりやすいかを推定します。
量子の問題を、重み付きの経路の比較へ移す
この推定を可能にする鍵が、模型の「stoquasticity」という性質です。ここでは、適切な基底でハミルトニアンの非対角成分が実数かつ非正になる性質を指します。その結果、解析に用いる虚時間発展の行列要素を非負の重みで表せます。正負の寄与が複雑に打ち消し合う問題を避け、古典的な確率模型として扱える点が効いています。
著者らは、量子状態の揺らぎを、空間の二方向に「虚時間」という解析上の方向を加えた経路で表しました。これは実際の処理時間を測った軸ではありません。測定されたシンドロームに合う経路と外部ノイズの組合せを、モンテカルロ法で繰り返しサンプリングします。
たとえば、測定結果に合う経路が何通りもあっても、ほとんどが同じ論理状態に対応するなら、その状態へ戻す修正を選べます。個々の誤りが通った道を一意に再現する必要はなく、論理情報への作用が同じ経路の集まりを選ぶことが重要です。論文ではこれをホモロジー類に分け、四つの類の重みを比較します。
この方法は、先に所定のスタビライザーを測るという条件の下で、復元した状態の忠実度を最大にする復号法です。測定の選び方自体を変えた方法まで含めて最善だという証明とは区別されます。
相転移の近くでも、しきい値は有限だった
横磁場が臨界値を越えると、量子情報を保つトポロジカルな相が失われます。研究の中心は、その境界へ近づくほど、訂正できるノイズの強さもゼロへ向かってしまうのか、という問いでした。
数値計算では、量子模型をそのまま厳密に再現する連続虚時間の極限ではなく、空間と虚時間を等方的に扱う格子ゲージ模型を使っています。以下のλは、その古典模型の温度に対応するパラメーターです。横磁場hそのものでも、実機の温度でもありません。著者らは相転移付近の普遍的な性質は共通すると期待していますが、しきい値の具体的な数字を、そのまま元の量子模型や装置へ移すことはできません。
臨界値の0.998倍にあたるλで計算すると、測定後の最適復号のビット反転しきい値は約9.61%でした。比較したのは、各辺で独立にビット反転が起きる模型で、格子の一辺Lを8、16、24、32、48へ変えたときの復号忠実度です。しきい値より低いノイズで、サイズを増やすと情報の復元が改善する傾向を調べています。
| 復号法 | λ＝0.998λcでのしきい値 | 選び方の違い |
|---|---|---|
| 最適な測定後復号 | 約9.61% | 模型に基づき、測定結果に合う経路の類の重みを比較する |
| 最小重み完全マッチング（MWPM） | 約9.04% | 測定された不整合を、重みの小さい経路で対にする |
より単純なMWPMでも、しきい値は有限に残りました。一方、模型を使って経路の重みを評価する方法には、訂正できる範囲を少し広げる余地があります。「相転移へ近づくと、どんな小さなノイズでもすぐ情報が失われる」という見方を、この計算は支持していません。
位相反転では、揺らぎとの関わり方が違う
ビット反転が0と1を入れ替える誤りであるのに対し、位相反転は重ね合わせの相対的な符号を変える誤りです。今回の横磁場が揺らすのは、ビット反転と関わるm型の励起です。位相反転で生まれるe型の励起は、元の基底状態にはありません。
そのため、まずm型の不整合を測って修正すると、位相反転の訂正を通常のトーリック符号の問題へ戻せます。著者らは、ビット反転と位相反転が独立という仮定の下で、位相反転に対する最適な測定後復号のしきい値が、トポロジカルな相の内部では横磁場に依存せず、通常の符号の値である約10.9%に保たれることを導いています。
この結果も、あらゆるノイズが10.9%まで許されるという意味ではありません。ビット反転側には別のしきい値があり、相関した誤りや測定装置の誤りを含む場合は、同じ結論をそのまま使えません。
「情報が残る」と「すぐに使える」を分けて考える
この研究の前進は、情報を回復できるはずだという存在の議論に加え、どの測定結果からどの修正を選ぶかを、実際に計算できる手順へつないだことです。一方、測定、修正、元の符号空間への再符号化は理想的に行えると仮定しています。
また、計算上の「効率的」は、今回のモンテカルロ計算で観察された性質です。一般に多項式時間で終わることを証明したわけではありません。臨界点に近づくと相関長が伸び、復号のために計算する虚時間方向の厚みも増えるため、しきい値が残ることと、計算負担が軽いことは別の問題です。
理論の議論は、格子サイズを相関長より十分大きく取れる領域を基本とし、全体を一周する経路が指数的に抑えられるという物理的仮定にも依存します。有限サイズの数値結果にはずれがあり、測定方式そのものの最適性にも未証明の部分が残っています。
新しい量子メモリーや非スタビライザー符号を比較するときには、守れる情報量やしきい値だけでなく、測定できる量、復号に必要な模型の知識、計算時間、測定中に加わるノイズまで見る必要があります。今回の結果は、そのうち「揺らいだ符号から情報を読み戻す方法」を具体化した研究として位置づけられます。
参考資料
- Zack Weinstein, Samuel J. Garratt, Quantum Error Correction in Nearly Critical Toric Codes, arXiv:2611.05375v1（2026年11月3日18:59 UTC投稿、日本時間11月4日）。論文PDF。模型と測定手順は§II–IV、ノイズと数値結果は§V・図10、限界は§VII、MWPMとの比較は付録I.3。査読前の研究です。